Question

【题目】如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN的取值范围是______．

Answer 1

【答案】2≤MN≤5

【解析】

根据中位线定理和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=BD，然后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大进行分析解答即可．

∵点P，M分别是CD，DE的中点，

∴PM=CE，PM∥CE，

∵点P，N分别是DC，BC的中点，

∴PN=BD，PN∥BD，

∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥CE，

∴∠DPM=∠DCE，

∵PN∥BD，

∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，

∴△PMN是等腰直角三角形，

∴PM=PN=BD，

∴MN=BD，

∴点D在AB上时，BD最小，

∴BD=AB-AD=4，MN的最小值2；

点D在BA延长线上时，BD最大，

∴BD=AB+AD=10，MN的最大值为5，

∴线段MN的取值范围是2≤MN≤5．

故答案为：2≤MN≤5．