Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A（2，0），B（0，1），动点P是x轴正半轴上的动点，过点P作PC⊥x轴，交直线AB于点C，以OA，AC为边构造OACD，设点P的横坐标为m．

（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若四边形OACD恰是菱形，请求出m的值；
（3）在（2）的条件下，y轴的正半轴上是否存在点Q，连结CQ，使得∠OQC+∠ODC=180°．若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（2，0），B（O，1）代入y=kx+b，

可得 ，解得 ，

∴直线AB的函数表达式为y=﹣ x+1

（2）

解：∵OACD是菱形，

∴AC=OA=2，

∵PC⊥x轴，交直线AB于点C，

∴C（m，﹣ m+1），

∴（2﹣m）2+（﹣ m+1）2=22，

解得m1= ，m2=

（3）

解：由（2）求得m1= ，m2= ，且C点在直线AB上，

∴C点坐标为（ ，﹣ ）或（ ， ），

∵OACD是菱形，

∴∠D=∠OAC，

要使∠OQC+∠ODC=180°，即；∠OQC+∠OAC=180°，

∴四边形QOAC的对角互补，

∴∠QOA+∠QCA=180°，

∵∠QOA=90°，

∴∠QCA=90°，

∴QC⊥AB，

设Q（0，n），

∴直线QC的解析式为y=2x+n，

把C点坐标分别代入y=2x+n，可得﹣ =2× +n或 =2× +n，

解得n=﹣4+2 或n=﹣4﹣2 （舍去），

∴点Q的坐标为（0，﹣4+2 ），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（0，﹣4+2 ）

【解析】（1）把点A（2，0），B（0，1）代入直线y=kx+b解方程可得；（2）根据菱形的性质得到AC=2，由点C（m，﹣ m+1）得到AP=|2﹣m|，CP=﹣