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【题目】如图,在△OAC中,以点O为圆心、OA长为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于点B,连接AB交OC于点D,∠CAD=∠CDA.

(1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

(2)若OA=10,OD=2,求线段AC的长.

【答案】(1)AC是⊙O的切线(2)线段AC的长为24

【解析】试题分析:(1)根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD;然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°,即∠OAC=90°,可得AC是⊙O的切线;

2)根据“等角对等边”可以推知AC=DC,所以由图形知OC=OD+CD;然后利用(1)中切线的性质可以在Rt△OAC中,根据勾股定理来求AC的长度.

试题解析:解:1AC是⊙O的切线.证明:∵点AB在⊙O上,∴OB=OA∴∠OBA=OAB∵∠CAD=CDA=BDO∴∠CAD+OAB=BDO+OBABOOC

∴∠BDO+∠OBA=90°∴∠CAD+∠OAB=90°∴∠OAC=90°,即OAAC,又OAO的半经,ACO的切线;

2)设AC的长为x∵∠CAD=∠CDACD的长为x.由(1)知OAAC

RtOAC中,OA2+AC2=OC2,即102+x2=2+x2x=24

即线段AC的长为24

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