Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F．

（1）求证：∠FGC=∠AGD．

（2）若BE=2，CD=8，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AD=4．

【解析】

(1) 连接GB，根据直径所对的圆周角是直角得到 和，再证明，用等量替换即可证明；

(2) 连接DB，DO，先用勾股定理求出BD的长度，再用勾股定理计算圆的半径，再用一次勾股定理即可得到答案；

解：(1)如图，连接GB，

，

∵AB是直径，

∴ （直径所对的圆周角是直角），
∴，

又∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，

∴AB垂直平分DC，

∴弧DB=弧BC，

∴（同弧所对的圆周角相等），

又，

，

由得到（等量替换）；

(2)如图，连接DB，DO，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，

∴AB平分CD，即DE=CE，

∵CD=8，

∴DE=4，

根据勾股定理得到： ，

∴ ，

设圆的半径为r，根据勾股定理得到：

,

∴，

解得： ，

∴ ，

又在 中，

∵AB是直径，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

即；