【题目】如图,已知正方形ABCD,边长为8,E是AB边上的一点,连接DE,将△DAE沿DE所在直线折叠,使点A的对应点A1落在正方形的边CD或BC的垂直平分线上,则AE的长度是_____.
【答案】16﹣8或.
【解析】
分两种情况:①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时,由折叠的性质得:∠DA1E=∠A=90°,A1D=AD=8,则MN⊥AB,MN⊥AB,DM=CD=4,A1D=AD=8,得出∠DA1M=30°,由勾股定理求出A1M=4,求出∠EA1N=60°,A1N=8﹣4,得出∠A1EN=30°,再由直角三角形的性质即可得出结果;
②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时,作AP⊥AB于P,解法同①.
解:分两种情况:
①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时,如图1所示:
由折叠的性质得:∠DA1E=∠A=90°,A1D=AD=8,
则MN⊥AB,DM=CD=4,A1D=AD=8,
∴∠DA1M=30°,A1M==4,
∴∠EA1N=180°﹣30°﹣90°=60°,A1N=8﹣4,
∴∠A1EN=90°﹣60°=30°,
∴AE=A1E=2A1N=16﹣8;
②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时,作AP⊥AB于P,如图2所示:
则DG=A1P=AD=4,A1D=AD=8,∠DA1E=90°,AE=A1E,
∴DG=A1D,
∴∠DA1G=30°,
∴∠PA1E=30°,
∴AE=A1E===;
综上所述,AE的长为16﹣8或;
故答案为:16﹣8或.
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【题目】城有肥料,城有肥料.现要把这些肥料全部运往、两乡,乡需要肥料240t,乡需要肥料,其运往、两乡的运费如下表:
两城/两乡 | C/(元/) | D/(元/) |
20 | 24 | |
15 | 17 |
设从城运往乡的肥料为,从城运往两乡的总运费为元,从城运往两乡的总运费为元
(1)分别写出、与之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
(2)试比较、两城总运费的大小;
(3)若城的总运费不得超过4800元,怎样调运使两城总费用的和最少?并求出最小值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,线段AC的垂直平分线交BC于点F,交AC于点E,交BA的延长线于点D.若DE=3,则BF=( ).
A.4B.3C.2D.
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【题目】教材呈现:下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.
线段垂直平分线
我们已知知道线段是轴对称图形,线段的垂直一部分线是线段的对称轴,如图直线是线段的垂直平分线,是上任一点,连结、,将线段与直线对称,我们发现与完全重合,由此都有:线段垂直平分线的性质定理,线段垂直平分线上的点到线段的距离相等.
已知:如图,,垂足为点,,点是直线上的任意一点.
求证:.
图中的两个直角三角形和,只要证明这两个三角形全等,便可证明(请写出完整的证明过程)
请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程,定理应用.
(1)如图②,在中,直线、、分别是边、、的垂直平分线.
求证:直线、、交于点.
(2)如图③,在中,,边的垂直平分线交于点,边的垂直平分线交于点,若,,则的长为_______.
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【题目】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A | B | |
进价(元/件) | 1200 | 1000 |
售价(元/件) | 1380 | 1200 |
(注:获利=售价-进价)
(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?
(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变,而购进A种商品的件数是第一次的2倍,A种商品按原价出售,而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于81600元,B种商品最低售价为每件多少元?
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【题目】某校组织全校学生进行了一次“社会主义核心价值观”知识竞赛,赛后随机抽取了各年级部分学生成绩进行统计,制作如下频数分布表和频数分布直方图.请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
分数段(表示分数) | 频数 | 频率 |
4 | 0.1 | |
8 | ||
0.3 | ||
10 | 0.25 | |
6 | 0.15 |
(1)请求出该校随机抽取了____学生成绩进行统计;
(2)表中____,____,并补全直方图;
(3)若用扇形统计图描述此成绩统计分布情况,则分数段对应扇形的圆心角度数是___;
(4)若该校共有学生8000人,请估计该校分数在的学生有多少人?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E ,G是弧AC上的点,AG,DC延长线交于点F.
(1)求证:∠FGC=∠AGD.
(2)若BE=2,CD=8,求AD的长.
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