Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．

（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；

（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；

（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）AE＝或；（3）存在，满足条件的AE的值为3或或或

【解析】

（1）连接AG，如图2所示，首先证明AG⊥BD，解直角三角形即可解决问题；

（2）分两种情形：①当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，②当∠GDF＝90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，分别求解即可；

（3）分四种情形：①当△AEF∽△GHE时，如图4﹣1，过点H作HP⊥AB于P；②当△AEF∽△GHE时，如图4﹣2，过点H作HP⊥AB于P；③当△AEF∽△GEH时，如图4﹣3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N；④当△AEF∽△GEH时，如图4﹣4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，过点H作HQ⊥AD于Q，分别求解即可．

解：（1）连接AG，如图2所示，

由折叠得：AG⊥EF，

∵EF∥BD，

∴AG⊥BD，

在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，

∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，

∴DB＝＝＝10，

∴cos∠ADB＝＝＝，

∴DG＝ADcos∠ADB＝6×＝；

（2）①当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，

设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，

在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，

∵tan∠FDG＝＝，

∴，

解得t＝，

∴AE＝；

②当∠GDF＝90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．

设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，

∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，

∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，

∴∠DFG＝∠EGH，

∴△GDF∽△EHG，

∴，

∴，

∴DG＝，GH＝8﹣4k，

∵DG+GH＝AE，

∴+8﹣4k＝4k，

∴k＝，

∴AE＝，

综上所述：AE＝或；

（3）①当△AEF∽△GHE时，如图4﹣1，过点H作HP⊥AB于P，

∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，

∴△FEG+∠HEG＝90°，

∴∠A＝∠FEH＝90°，

∴△AEF∽△EHF，

∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，

∵∠A＝∠HPE＝90°，

∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，

∴∠AEF＝∠EHP，

∴△AEF∽△HPE，

∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，

∵HP＝6，

∴AE＝3；

②当△AEF∽△GHE时，如图4﹣2，过点H作HP⊥AB于P，

同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，

设AF＝t，则AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，

∴BP＝8﹣4t，

∵△BHP∽△BDA，

∴4t：6＝（8﹣4t）：8，

解得：t＝，AE＝；

③当△AEF∽△GEH时，如图4﹣3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N．

设AF＝t，则AE＝2t，DF＝6﹣t，

由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，

∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，

∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），

∴FG＝GH，

∵MG∥DH，

∴FM＝（6﹣t），

∴AM＝EN＝AF+FM＝，

又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，

∵MG＝NE＝AM＝，GN＝2FN＝6﹣t，

∵MN＝AE，

∴+6﹣t＝2t，

解得t＝，

∴AE＝；

④当△AEF∽△GEH时，如图4﹣4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN于N，过点H作HQ⊥AD于Q，设AF＝t，则AE＝2t，

设FM＝a，

∴NG＝2a，NE＝a+t，

∴MG＝EN＝AM＝，

∴+2a＝2t①，

由上题可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，

∴DQ＝6﹣t﹣2a，

∵，

∴②，

解得t＝，

∴AE＝，

综上所述，满足条件的AE的值为3或或或．