Question

15．计算下列各式的值：$\sqrt{{9}^{2}+19}$；$\sqrt{{99}^{2}+199}$；$\sqrt{{999}^{2}+1999}$；$\sqrt{{9999}^{2}+19999}$．观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得$\sqrt{\underset{\underbrace{99…{9}^{2}}}{2015个9}+\underset{\underbrace{199…9}}{2015个9}}$=10²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 先求出已知算式的结果，根据求出的结果得出规律，根据规律得出答案即可．

解答 解：∵$\sqrt{{9}^{2}+19}$
=$\sqrt{{9}^{2}+9+10}$
=$\sqrt{9×（9+1）+10}$
=$\sqrt{9×10+10}$
=$\sqrt{10×（9+1）}$
=$\sqrt{10×10}$
=10，
同理$\sqrt{{99}^{2}+199}$=100，
$\sqrt{{999}^{2}+1999}$=1000，
$\sqrt{{9999}^{2}+19999}$=10000，
∴$\sqrt{\underset{\underbrace{99…{9}^{2}}}{2015个9}+\underset{\underbrace{199…9}}{2015个9}}$
=100…0（共2015个0）
=10²⁰¹⁵，
故答案为：10²⁰¹⁵．

点评 本题考查了二次根式的性质的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键，题目是一道比较好的题目，有一点的难度．