Question

19．如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O上从点Q按逆时针方向运动到点P，连接AB，
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求点A走过的路径（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求AB的长度（图3）．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠AOB的度数，根据弧长的计算公式求出点A走过的路径；
（2）根据直线与圆相切时，∠AOB的度数确定α的范围；
（3）连接MQ，根据三角形的中位线定理证明BM=MA，根据切割线定理求出AB的长．

解答 解：（1）如图1，连接OA，
∵直线AB与圆O相切，∴∠OAB=90°，又OA=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠B=30°，则∠AOB=60°，
∴点A走过的路径为：$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）可知，当∠AOB=60°时，直线AB与圆O相切，
∴0°≤α≤60°；
（3）如图3，连接MQ，
∵PQ为圆O的直径，∴∠PMQ=90°，又AO⊥PM，
∴AO∥MQ，又BQ=OQ，
∴BM=MA，
由切割线定理，BM•BA=BQ•BP，
$\frac{1}{2}$AB²=1×3，
AB=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是直线与圆相切、弧长的计算和切割线定理的应用，掌握弧长的计算公式和切割线定理是解题的关键．