Question

7．如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△BDE的内心，若∠BFE的度数是整数，求∠BFE的最小度数．

Answer 1

分析 首先由三角形内角的性质，求得∠ADB=90°+$\frac{∠C}{2}$，∠BED=90°+$\frac{∠BAD}{2}$，∠BFE=90°+$\frac{∠BDE}{2}$，又由∠BFE的度数为整数，即可得到∠BFE的最小值．

解答 解：∵D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△DBE的内心，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠ADB，∠ADB=90°+$\frac{∠C}{2}$，∠BED=90°+$\frac{∠BAD}{2}$，∠BFE=90°+$\frac{∠BDE}{2}$，
∴∠BFE=90°+$\frac{∠BDE}{2}$=90°+$\frac{1}{4}$∠ADB=90°+$\frac{1}{4}$（90°+$\frac{1}{2}$∠C）=112.5°+$\frac{1}{8}$∠C，
∵∠BFE的度数为整数，
∴当∠C=4°时，∠BFE=113°最小．

点评 此题考查了三角形内心的性质，熟知三角形的内心即是三角形角平分线的交点是解答此题的关键．