Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，且AF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则当点P在线段AB上时，线段PB的长度为$\frac{44}{5}$-4$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 由勾股定理得到AB=10，过F作FG⊥AB于G，根据相似三角形的性质得到AG=$\frac{6}{5}$，FG=$\frac{8}{5}$，由折叠的性质得到PF=CF=6-2=4，根据勾股定理得到PG=$\sqrt{P{F}^{2}-F{G}^{2}}$=4$\sqrt{21}$，于是得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
过F作FG⊥AB于G，
∴∠AGF=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AFG∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{AG}{AC}=\frac{FG}{BC}$，
∴$\frac{2}{10}$=$\frac{AG}{6}$=$\frac{FG}{8}$，
∴AG=$\frac{6}{5}$，FG=$\frac{8}{5}$，
∵将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，
∴PF=CF=6-2=4，
∴PG=$\sqrt{P{F}^{2}-F{G}^{2}}$=4$\sqrt{21}$，
∴PB=AB-AG-PG=$\frac{44}{5}$-4$\sqrt{21}$，
故答案为：$\frac{44}{5}$-4$\sqrt{21}$．

点评 本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．