Question

16．一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．设AE=x，矩形CDEF的面积为S．
（1）求出S的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围
（2）当x为何值时，S有最大值，并求出S的最大值
（3）当x=18-6$\sqrt{3}$时，矩形CDEF为正方形．

Answer 1

分析 （1）先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围，根据30°的直角三角形的性质求出EF和AF的长，在
在Rt△ACB中，根据三角函数求出AC的长，计算FC的长，利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式；
（2）把二次函数的关系式配方可以得结论；
（3）根据有一组邻边相等的矩形为正方形，得EF=FC，列式可求得x的值．

解答 解：（1）∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合，
∴0＜x＜12，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∠A=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$x，
AF=cos30°•AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
在Rt△ACB中，AB=12，
∴cos30°=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
∴FC=AC-AF=6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S=FC•EF=$\frac{1}{2}$x（6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}$+3$\sqrt{3}$x（0＜x＜12）；
（2）$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}x（12-x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（x-6）^2}+9\sqrt{3}$，
当x=6时，S有最大值为$9\sqrt{3}$；
（3）若矩形CDEF为正方形，
则EF=FC，
即$\frac{1}{2}$x=6$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
x=18-6$\sqrt{3}$，
∴当x=18-6$\sqrt{3}$时，矩形CDEF为正方形．
故答案为：18-6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、特殊的三角函数、30°的直角三角形的性质、二次函数的最值、正方形的判定等知识，难度适中，明确矩形的面积为长×宽，并熟练掌握特殊的三角函数值及定义．