Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E、F分别是边AC、BC上的动点,且EF//AB，点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则CD长为__________．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，有两种情况：∠ABC或∠ACB的角平分线；正确画出图形，得出点D即角平分线与AB边高CH的交点，再由角平分线性质可得DH=DG=CH-CD，点C关于EF的对称点D恰好落在∠ABC的角平分线上，利用列方程即可求出CD．

解：i、当点C关于EF的对称点D恰好落在∠ABC的角平分线上时，

过C点作CH⊥EF，交AB于点H，交∠ABC平分线与点D，

∵点C关于EF的对称点D恰好落在∠ABC的内角平分线上，故点D即点C关于EF的对称点，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴，

∴，

∵CH⊥EF，EF//AB,

∴CH⊥AB，

∴， ∠BCH=∠A，

过D点作DG⊥BC，垂足为G，

∵DB平分∠ABC，DH⊥AB，DG⊥BC，

∴DH=DG=CH-CD，

∵，，

∴，解得： ；

ii、当点C关于EF的对称点D恰好落在∠BAC的角平分线上时，如图，

同理可得：，

综上所述：点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则CD长为3或．

故答案为：3或．