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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣ x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D,四边形ABCD是正方形,反比例函数y= 的图象在第一象限经过点A.

(1)求点A的坐标以及k的值:
(2)点P是反比例函数y= (x>0)的图象上一点,且△PAO的面积为21,求点P的坐标.

【答案】
(1)

解:由题可得:C(3,0),D(0,4).

过A作AE⊥y轴于E,如图(1):

在△AED和△DOC中,

∴△AED≌△DOC,

∴AE=DO=4,ED=OC=3,

∴A点坐标为(4,7),

∵点A在反比例函数y= 的图象上,

∴k=28


(2)

解:设点P坐标为(x, ),

①当点P在OA上方时,如图(2):

过P作PG⊥y轴于G,过A作AF⊥y轴于F,

∵SAPO+SPGO=S四边形PGFA+SAFO,SPGO=SAFO=14,

∴SAPO=S四边形PGFA

有: (x+4)( ﹣7)=21,

解得:x1=﹣8(舍去),x2=2;

即点P的坐标为(2,14);

②当点P在OA下方时,如图(3):

过P作PH⊥x轴于H,过A作AM⊥x轴于M,

∵SAPO+SPHO=S四边形PHMA+SAMO,SPHO=SAMO=14,

∴SAPO=S四边形PHMA

有: +7)(x﹣4)=21,

解得:x3=﹣2(舍去),x4=8,

即点P坐标为(8, ).

综上可知:当点P坐标为(2,14)或(8, )时,△PAO的面积为21


【解析】(1)过点A作AE⊥y轴于E,证明△AED≌△DOC,可得点A坐标,代入求解即可;(2)分两种情况讨论:①点P在OA上方时,过P作PG⊥y轴于G,过A作AF⊥y轴于F,通过得出SAPO=S四边形PGFA , 可得点P坐标;②点P在OA下方时,过P作PH⊥x轴于H,过A作AM⊥x轴于M,通过SAPO=S四边形PHMA , 可得点P坐标.
【考点精析】掌握反比例函数的概念和反比例函数的图象是解答本题的根本,需要知道形如y=k/x(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.自变量x的取值范围是x不等于0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数;反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴:直线y=x和 y=-x.对称中心是:原点.

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B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
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