Question

【题目】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x－1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．

①求此时m的值．

②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①m＝；②存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为

【解析】

（1）由题意利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；

（2）①由题意分别用含m的代数式表示出点P，E的纵坐标，再用含m的代数式表示出PE的长，运用函数的思想即可求出其最大值；

②根据题意对以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况进行讨论与分析求解.

解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：b=1,c=2

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．

（2）①∵直线y＝ x-1与y轴交于点C，与x轴交于点D，

∴点C的坐标为（0，-1），点D的坐标为（2，0），

∴0＜m＜2．

∵点P的横坐标为m，

∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点E的坐标为（m， m+3），

∴PE＝﹣m2+m+2﹣（ m+3）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+．

∵﹣1＜0，0＜＜2，

∴当m＝时，PE最长．

②由①可知，点P的坐标为（，）．

以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：

①以PD为对角线，点Q的坐标为；

②以PC为对角线，点Q的坐标为；

③以CD为对角线，点Q的坐标为．

综上所述：在（2）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为.