【题目】(本题满分10分)如图,已知AD是△ABC的角平分线,⊙O经过A、B、D三点,过点B作BE∥AD,交⊙O于点E,连接ED.
(1)求证:ED∥AC;
(2)若BD=2CD,设△EBD的面积为,△ADC的面积为
,且
,求△ABC的面积.
【答案】
【解析】
试题分析:(1)根据角平分线的性质可求出∠BAD=∠CAD,根据圆周角定理可得∠E=∠BAD,因此可得∠CAD=∠E,再由平行线的性质可得∠E=∠EDA,因此可证∠EDA=∠CAD,由平行线的判定得证结论;
(2)根据题意可证△EBD∽△ADC,且相似比为2:1,可知其面积比为4:1,即,把其代入已知的式子
,可求
=
,根据不同底但同高,可知△ABD的面积是△ADC面积的2倍,因此可求结果.
试题解析:证明:(1)∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD =∠DAC.
∵∠E=∠BAD,
∴∠E =∠DAC.
∵BE∥AD,
∴∠E =∠EDA.
∴∠EDA =∠DAC.
∴ED∥AC.
解:(2)∵BE∥AD,
∴∠EBD =∠ADC.
∵∠E =∠DAC,
∴△EBD∽△ADC,
且相似比.
∴,
即.
∵,
∴,
即.
∴.
∵,
∴.
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【题目】为了测量调查对象每分钟的心跳情况,甲同学建议测量2分钟的心跳次数再除以2,乙同学建议测量5秒钟的心跳次数再乘以12,如果把甲、乙两位同学的方法得出的每分钟的心跳次数分别称为甲样本和乙样本,则比较合适的样本是____.
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【题目】我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解:
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子;
(2)问题探究;
如图1,在等邻角四边形ABCD中,∠DAB=∠ABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系,并说明理由;
(3)应用拓展;
如图2,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠C=∠D=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3),当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时,求出它的面积.
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【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足为E,求证:BC=2AE.
小明经探究发现,过点A作AF⊥BC,垂足为F,得到∠AFB=∠BEA,从而可证△ABF≌△BAE(如图2),使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答:△ABF与△BAE全等的条件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)
参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
(2)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为DC的中点,点F在AC的延长线上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的长;
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E分别在AB、AC边上,且AD=kDB(其中0<k< ),∠AED=∠BCD,求
的值(用含k的式子表示).
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