Question

【题目】已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若，求∠AED的度数；

（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的边DF与边DM重合时（如图2），若，求DN的长．

Answer 1

【答案】解：（1）CE=AF，证明见解析；（2）135°；（3） ．

【解析】

（1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；
（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；

（3）证△MAO∽△DCO得 ，由勾股定理得DM=2，据此求得DO= ，结合OF= 知DF=，再证△DFN∽△DCO得，据此计算可得．

解：（1）CE=AF，
在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴CE=AF；
（2）设DE=k，
∵DE：AE：CE=1：：3
∴AE=k，CE=AF=3k，
∴EF=k，
∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，
即AE2+EF2=AF2
∴△AEF为直角三角形，
∴∠BEF=90°
∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；
（3）∵M是AB的中点，
∴MA=AB=AD，
∵AB∥CD，
∴△MAO∽△DCO，
∴，
在Rt△DAM中，AD=4，AM=2，
∴DM=2，
∴DO=，
∵OF=，
∴DF=，
∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，
∴△DFN∽△DCO，
∴ ，即 ，
∴DN= ．