Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AEAD；

（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，证明∠DCO＝90°即可．

（2）连接BE．证明△ACD∽△AEC可得结论．

（3）设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，由△ACD∽△AEC，可得＝，推出CD＝，由△DCA∽△DBC，可得CD2＝DADB，推出DB＝，推出AB＝﹣5k，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出k即可解决问题．

（1）证明：连接OC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠B＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO，

∴∠ACO+∠B＝90°，

又∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD+∠ACO＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∴DC是⊙O的切线；

（2）解：连接BE．

∵BC＝EC，

∴，

∴∠CAB＝∠CBE，

∵四边形CAEB内接于圆，

∴∠CBE+∠CAE＝180°，

又∵∠CAD+∠CAB＝180°，

∴∠CAD＝∠CAE，

又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，

∴∠ACD＝∠AEC，

∴△ACD∽△AEC，

∴．

∴AC2＝AEAD；

（3）解：设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，

∵△ACD∽△AEC，

∴＝，

∴＝，

∴CD＝，

∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，

∴△DCA∽△DBC，

∴CD2＝DADB，

∵DB＝，

∴AB＝﹣5k，

∵∠ACB＝90°，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴（3k）2+（4）2＝（）2，

整理得：81k4+684k2﹣320＝0，

∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，

∴k2＝，

∵k＞0，

∴k＝，

∴AB＝，

∴⊙O的半径为．