Question

9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠D=90°，CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，AB=4，点P从点B出发，沿射线BA方向运动，以点P为圆心，BP长为半径作⊙P．
（1）求BC的长；
（2）当⊙P经过点D时，求⊙P的半径；
（3）以C为圆心，CD长为半径作⊙C，将⊙C沿某直线l折叠，使点D刚好落在点Q处，当⊙P与直线l相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AC．由锐角三角形函数的定义和特殊锐角三角函数值可求得∠CAB=60°，AB=AC，故此可判定△ACB是等边三角形，接下来依据等边三角形的性质可求得BC的长；
（2）如图2所示：连接DP，然后在△APD中，依据勾股定理可求得PD的长，从而求得⊙P的半径；
（3）连接AC，过点P作PE⊥AC，AC与圆P的切点为E，连接EP，由∠DCA=∠ACB=60°可得到直线l与直线AC重合，设PB=y，然后在△AEP中，依据特殊锐角三角形函数值列出关于y的方程，从而可求得⊙P的半径．

解答 解：如图1所示：连接AC．

∵∠D=90°，CD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=4，∠DAC=30°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAB=60°．
又∵AB=AC=4，
∴△ACB是等边三角形．
∴BC=4．
（2）如图2所示：

设BP=x，当⊙P经过点D时，则PB=PD=x，则AP=4-x．
∵在Rt△DPA中，由勾股定理得：AP²+AD²=DP²，即（4-x）²+（2$\sqrt{3}$）²=x²，解得：x=$\frac{7}{2}$，
∴⊙P的半径的半径为$\frac{7}{2}$．
（3）如图3所示：连接AC，过点P作PE⊥AC，AC与圆P的切点为E，连接EP．

∵∠DCA=60°，∠ACB=60°，
∴直线l与直线AC重合．
∴AC为圆P的切线，
∴∠AEP=90°．
设BP=y，则EP=y，则AO=4-y．
又∵∠EAP=60°，
∴$\frac{EP}{AP}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{y}{4-y}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：y=8$\sqrt{3}$-12．
∴⊙P的半径的半径为8$\sqrt{3}$-12．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆的性质、切线的性质、等边三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，依据勾股定理和特殊锐角三角函数值，列出关于x、y的方程是解题的关键．