Question

18．探索与证明
如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，顺次连接E、M、N、D四点．
（1）求证：EMND是平行四边形；
（2）探索：BC边上的中线是否过点O？为什么？

Answer 1

分析 （1）由中位线定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题证明即可．
（2）BC边上的中线过点O，连接DE．根据三角形的中位线定理，得DF∥BA，DF=$\frac{1}{2}$BA．根据平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答 （1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，
∴ED∥BC且ED=$\frac{1}{2}$BC，
MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED∥MN且ED=MN，
∴四边形MNDE是平行四边形．
（2）BC边上的中线过点O，理由如下：
作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
∴DF∥BA，DF=$\frac{1}{2}$BA．
∴△MDF∽△MBA，
∴$\frac{DM}{BM}=\frac{FM}{AM}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
即BD=3DM，
∵BO=$\frac{2}{3}$BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．