Question

如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD．
（1）求证：∠B+∠AFD=180°；
（2）如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AG=AF，进而得出∠FAD=∠DAG，利用SAS得出△AFD≌△AGD，进而得出∠AFD=∠AGD，FD=GD，即可得出∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；
（2）首先过点E作∠DEH=∠DEA，点H在BC上，进而得出∠AFD=∠AGD=∠GEH，则GD∥EH，求出AE=AG+GE=AF+FD．

解答：解：（1）在AB上截取AG=AF． 
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠DAG．
在△AFD和△AGD中，

AF=AG ∠FAD=∠GAD AD=AD

∴△AFD≌△AGD（SAS），
∴∠AFD=∠AGD，FD=GD，
∵FD=BD，
∴BD=GD，
∴∠DGB=∠B，
∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；

（2）AE=AF+FD．                        
过点E作∠DEH=∠DEA，点H在BC上．
∵∠B+2∠DEA=180°，
∴∠HEB=∠B．
∵∠B+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，
∴GD∥EH．
∴∠GDE=∠DEH=∠DEG．
∴GD=GE．
又∵AF=AG，
∴AE=AG+GE=AF+FD．

点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．