Question

【题目】如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．

（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；
（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；
（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，∵在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC= =4cm，

当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形APA′D为平行四边形，

∵PD⊥AB，

∴∠ADP=∠C=90°，

∵∠A=∠A，

∴△APD∽△ABC，

∵AP=5x，

∴A′P=AD=4x，PC=4﹣5x，

∵∠A′PD=∠ADP，

∴A′P∥AB，

∴△A′PC∽△ABC，

∴ ，即 = ，

解得：x= ，

∴当点A′落在边BC上时，x=

（2）

解：当A′B=BC时，（5﹣8x）2+（3x）2=32，

解得： ．

∵x≤ ，

∴ ；

当A′B=A′C时，x=

（3）

解：Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，

∴DH=PA'=AD，HE=B′Q=EB，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=5，

∴x= ，

∴A′B′=QE﹣PD=x= ；

Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，

∴B′E=5x，DE=5﹣7x，

∴cosB= ，

∴x= ，

∴A′B′=B′D﹣A′D= ；

Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，

由（1）有，x= ，

∴A′B′=PA′sinA= ；

当A′B′⊥AB时，x= ，A′B′= ；

当A′B′⊥BC时，x= ，A′B′= ；

当A′B′⊥AC时，x= ，A′B′=

【解析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B=BC、A′B=A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．