Question

如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．
（1）判断△AOG的形状，并予以证明；
（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,轴对称的性质

专题：

分析：（1）易证∠CAO=∠AOG和∠CAO=∠GAO，即可判定△AOG是等腰三角形；
（2）连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，易证△ANG≌△BKG，即可证明∠BOG=∠OBG，∠OAG=∠AOG，根据三角形内角和为180°性质即可解题．

解答：解：（1）等腰三角形；
证明：∵AC∥y轴，
∴∠CAO=∠AOG，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠GAO，
∴∠GAO=∠AOG，
∴AG=GO，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，

∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，
∴AN=CK=BK，
在△ANG和△BKG中，

∠AGN=∠BGK ∠ANG=∠BKG AN=BK

，
∴△ANG≌△BKG，（AAS）
∴AG=BG，
∵AG=OG，（1）中已证，
∴AG=OG=BG，
∴∠BOG=∠OBG，∠OAG=∠AOG，
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴AO⊥BO．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ANG≌△BKG是解题的关键．