Question

如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，设BD=m，CE=n
（1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）；
（2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a（0°＜a＜180°），设BD=m，CE=n．问DE的长如何表示？并请证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由条件可证明△ADB≌△CEA，可得到AE=BD，AD=CE，从而可表示出DE；
（2）方法同（1）证明△ADB≌△CEA，可得到AE=BD，AD=CE，从而可表示出DE．

解答：解：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中

∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE=m+n；
（2）DE=m+n，证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中

∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠CAE AB=AC

∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE=m+n．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．