Question

已知抛物线与x轴交于m（-1，0），n（3，0），顶点的纵坐标为-8，用三种方法求二次函数的解析式．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：第一种方法：设交点式得到y=a（x+1）（x-3），再配成顶点式y=a（x-1）²-4a，然后根据顶点的纵坐标为-8求出a即可；
第二种方法：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线顶点坐标为（1，-8），然后把（1，-8）代入所设解析式求出a即可；
第三种方法：利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，则抛物线顶点坐标为（1，-8），则可设顶点式y=a（x-1）²-8，然后把（-1，0）代入求出a即可．

解答：解：方法一：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）²-4a，
抛物线的顶点坐标为（1，-4a），则-4a=-8，解得a=2，
所以抛物线解析式为y=2（x+1）（x-3）=2x²-4x-6；
方法二：∵抛物线与x轴交于m（-1，0），n（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线顶点坐标为（1，-8），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，-8）代入得a•（1+1）（1-3）=-8，解得a=2，
∴抛物线解析式为y=2（x+1）（x-3）=2x²-4x-6；
方法三：∵抛物线与x轴交于m（-1，0），n（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线顶点坐标为（1，-8），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²-8，
把（-1，0）代入得a•（-1-1）²-8=0，解得a=2，
∴抛物线解析式为y=2（x-1）²-8．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．