Question

【题目】已知函数的关系式是L1：y=kx2+（k﹣2）x﹣2

（1）下列说法中正确的序号有 ：

①当k=1时，其顶点坐标为（，）；

②当k=2时，二次函数的图象关于y轴对称；

③无论k为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2）；

（2）求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；

（3）已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A、B，顶点为P，若k＞0，且△ABP为等边三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）②③；（2）见解析；（3）2﹣2．

【解析】

试题分析：（1）当k=1时，把y=x2﹣x﹣2配成顶点式即可对①解析判断；当k=2时，y=2x2﹣2，抛物线的对称轴为y轴，则可对②解析判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对③解析判断；

（2）分类讨论：当k=0时，原函数为一次函数y=﹣2x﹣2，则图象一定与x轴有一个交点；当k≠0时，利用判别式的意义可判断二次函数图象与x轴有交点，所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；

（3）利用抛物线与x轴的交点问题，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0可得A（，0），B（﹣1，0），顶点P的坐标为（ ，﹣），当k＞0时，AB=，如图1，作DE⊥x轴于E，根据等边三角形的性质得DE=AB，即 =×，解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，所以k的值为2﹣2．

（1）解：当k=1时，y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，此时顶点坐标为（，﹣），所以①错误；

当k=2时，y=2x2﹣2，则抛物线的对称轴为y轴，所以②正确；

当x=﹣1时，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=k﹣k+2﹣2=0；当x=0时，y=kx2+（k﹣2）x﹣2=﹣2，所以无论k为何非零值，二次函数都经过（﹣1，0）和（0，﹣2），所以③正确；

故答案为：②③；

（2）证明：当k=0时，一次函数y=﹣2x﹣2与x轴有一个交点（﹣1，0）；

当k≠0时，△=（k﹣2）2﹣4k（﹣2）=（k+2）2≥0，此二次函数图象与x轴有交点，

所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；

（3）解：当y=0时，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=，

设A（，0），B（﹣1，0），顶点P的坐标为（，﹣），

AB=+1，如图1，作DE⊥x轴于E．

∵△ABP为等边三角形，

∴DE=AB，即 =×，

解得k1=﹣2（舍去），k2=2﹣2，

∴k的值为2﹣2．