Question

【题目】
（1）【提出问题】
如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
（2）【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN

（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立；

理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC=∠ACN

（3）解：∠ABC=∠ACN；

理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，

∴底角∠BAC=∠MAN，

∴△ABC∽△AMN，

∴ ，

又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△BAM∽△CAN，

∴∠ABC=∠ACN

【解析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到 ，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．