【题目】如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)若AE=1时,求AP的长;
(2)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果发生变化,请说明理由.
【答案】(1)2(2)2(3)DE=3是定值
【解析】
(1)根据等边三角形的性质得到∠A=60°,根据三角形内角和定理得到∠APE=30°,根据直角三角形的性质计算;
(2)过P作PF∥QC,证明△DBQ≌△DFP,根据全等三角形的性质计算即可;
(3)根据等边三角形的性质、直角三角形的性质解答.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∵PE⊥AB,
∴∠APE=30°,
∵AE=1,∠APE=30°,PE⊥AB,
∴AP=2AE=2;
(2)过P作PF∥QC,
则△AFP是等边三角形,
∵P、Q同时出发,速度相同,即BQ=AP,
∴BQ=PF,
在△DBQ和△DFP中,
,
∴△DBQ≌△DFP,
∴BD=DF,
∵∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°,
∴BD=DF=FA=AB=2,
∴AP=2;
(3)由(2)知BD=DF,
∵△AFP是等边三角形,PE⊥AB,
∴AE=EF,
∴DE=DF+EF=BF+FA=AB=3为定值,即DE的长不变.
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【题目】
(1)【提出问题】
如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
(2)【类比探究】
如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
(3)【拓展延伸】
如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
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【题目】一点A从数轴上表示+2的点开始移动,第一次先向左移动1个单位,再向右移动2个单位;第二次先向左移动3个单位,再向右移动4个单位;第三次先向左移动5个单位,再向右移动6个单位……
(1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(2)写出第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(3)写出第五次移动后这个点在数轴上表示的数为 ;
(4)写出第次移动结果这个点在数轴上表示的数为 ;
(5)如果第次移动后这个点在数轴上表示的数为56,求的值.
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【题目】如图,已知抛物线y= x2+bx与直线y=2x交于点O(0,0),A(a,12).点B是抛物线上O,A之间的一个动点,过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C,E.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若点C为OA的中点,求BC的长;
(3)以BC,BE为边构造矩形BCDE,设点D的坐标为(m,n),求出m,n之间的关系式.
(4)将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P,求出P点坐标.
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【题目】如图,在ABC中, A=80, ABC与ACD的平分线交于点A1,得A1; A1BC与A1CD的平分线相交于点A2,得A2;……; A7BC与A7CD的平分线相交于点A8,得A8,则A8的度数为()
A. B. C. D.
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【题目】如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)按要求填空:
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ;
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积:
方法1:
方法2:
③观察图②,请写出代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn这三个代数式之间的等量关系: ;
(2)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图③,它表示了 .
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【题目】如图,原有一大长方形,被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若原来该大长方形的周长是120,则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= (x﹣m)2﹣ m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE∥x轴,DE∥y轴.
(1)当m=2时,求点B的坐标;
(2)求DE的长?
(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?
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【题目】如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是⊙O的切线.
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