Question

15．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$．点D由A出发沿AC向点C匀速运动，同时点E由B出发沿BA向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在AB上，FE=4cm，且点F 在点E的下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接DF，设AD=x（0≤x≤6）．解答下列问题：

（1）如图1，当x为何值时，△ADF为直角三角形；
（2）如图2，把△ADF沿AB翻折，使点D落在D′点．
①当x为何值时，四边形ADFD′为菱形？并求出菱形的面积；
②如图3，分别取D′F，D′E的中点M，N，在整个运动过程中，则线段MN扫过的区域的形状为平行四边形，其面积为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 （1）△ADF为直角三角形，有两种可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根据锐角三角函数，分两种情况进行讨论，列方程求解即可；
（2）①根据菱形的判定，可知当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，根据锐角三角函数列方程求出x，计算菱形的面积即可；②根据三角形中位线定理可知，线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，其面积为$\frac{24}{5}$．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴BC=8，AB=10，
∴AD=x，BE=x，AF=6-x，
当∠ADF=90°，如图1左图，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AD}{AF}$=$\frac{x}{6-x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{9}{4}$；
当∠AFD=90°，如图1右图，
∵tanA=$\frac{4}{3}$
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{6-x}{x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴当x=$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{4}$，△ADF为直角三角形；

（2）①如图2，∵AD=AD′，D′F=DF，
∴当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，
∴连接DD′⊥AF于G，AG=$\frac{6-x}{2}$，
∵tanA=$\frac{4}{3}$，
∴cosA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AG}{AD}$=$\frac{\frac{6-x}{2}}{x}$=$\frac{3}{5}$，
∴x=$\frac{30}{11}$，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}$×DD'×AF=$\frac{1}{2}$×$\frac{48}{11}$×$\frac{36}{11}$=$\frac{864}{121}$；

②平行四边形，$\frac{24}{5}$．
理由：如图3，∵M、N分别为D′F、D′E的中点，
∴MN∥EF，MN=$\frac{1}{2}$EF=2，
∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，
当D运动到C，则F正好运动到A，此时MA=$\frac{1}{2}$D′A=$\frac{1}{2}$DA=3，
∵∠DAB=∠D′AB，
∴tanA=tan∠D′AB=$\frac{4}{3}$，
设点M到AB的距离为4x，则（3x）²+（4x）²=3²，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
∴4x=$\frac{12}{5}$，
∴线段MN扫过的区域的面积=2×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$．
故答案为：平行四边形，$\frac{24}{5}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了锐角三角函数、直角三角形的判定、菱形的性质、勾股定理以及三角形中位线性质的综合运用，具备较强的数形结合能力是解决问题的关键．解题时注意分类讨论思想和方程思想的运用．