Question

【题目】已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，．

求证：；

当与满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）由菱形的性质得出∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，由已知和三角形中位线定理证出AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，由(SAS)证明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO＝90°，四边形AEOF是正方形．

(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，

∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，

∴AE＝BE＝DF＝AF,OF＝DC,OE＝BC,OE∥BC，

在△BCE和△DCF中,，

∴△BCE≌△DCF(SAS)；

(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：

由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，

∴四边形AEOF是菱形，

∵AB⊥BC,OE∥BC，

∴OE⊥AB，

∴∠AEO＝90°，

∴四边形AEOF是正方形.