Question

12．已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；
（3）抛物线y=-x²+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B的值，根据顶点式，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，可得M点的坐标，要分类讨论，以防遗漏．

解答 解：（1）∵直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴A（$\frac{5}{2}$，0），B（0，-5）．
当点M与点A重合时，∴M（$\frac{5}{2}$，0），
∴抛物线的解析式为y=-（x-$\frac{5}{2}$）²，即y=-x²+5x-$\frac{25}{4}$；

（2）N在直线y=2x-5上，设N（a，2a-5），又N在抛物线上，
∴2a-5=-a²+5a-$\frac{25}{4}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{5}{2}$（舍去），
∴N（$\frac{1}{2}$，-4）．
过点N作NC⊥x轴，垂足为C，如图1
，
∵N（$\frac{1}{2}$，-4），
∴C（$\frac{1}{2}$，0），
∴NC=4．MC=OM-OC=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
∴MN=$\sqrt{N{C}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）设M（m，2m-5），N（n，2n-5）．
∵A（$\frac{5}{2}$，0），B（0-，5），
∴OA=$\frac{5}{2}$，OB=5，则OB=2OA，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
如图2，
当∠MON=90°时，∵AB≠MN，且MN和AB边上的高相等，因此△OMN与△AOB不能全等，
∴△OMN与△AOB不相似，不满足题意；
当∠OMN=90°时，$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OM}{MN}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{OM}{2\sqrt{5}}$，解得OM=$\sqrt{5}$，
则m²+（2m-5）²=（$\sqrt{5}$）²，解得m=2，∴M（2，-1）；
当∠ONM=90°时，$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ON}{MN}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{ON}{MN}$，解得ON=$\sqrt{5}$，则n²+（2n-5）²=（$\sqrt{5}$）²，解得n=2，
∵OM²=ON²+MN²，即m²+（2m-5）²=5+（2$\sqrt{5}$）²，解得m=4，则M点的坐标为（4，3），
综上所述：M点的坐标为（2，-1）或（4，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是顶点是函数解析式；解（2）的关键是利用函数图象上的点满足函数解析式得出N点坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．