Question

12．已知：在△ABC中，∠BAC=120°．点P，Q在BC上，且△APQ是等边三角形．
（1）求证：△ABP∽△CAQ；
（2）若BP=3，CQ=2，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠B+∠C=60°，根据等边三角形的性质得到∠PAQ=60°，∠APQ=∠AQP=60°，根据邻补角的性质得到∠APB=∠AQC=120°，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{PB}{AQ}=\frac{AP}{CQ}$，等量代换得到PQ²=PB•CQ=6，于是得到结果．

解答 （1）证明：如图，∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠APQ=∠AQP=60°，
∴∠B+∠BAP=60°，∠APB=∠AQC=120°，
∴∠BAP=∠C，
∴△ABP∽△CAQ；

（2）解：∵△ABP∽△CAQ，
∴$\frac{PB}{AQ}=\frac{AP}{CQ}$，
∴AQ•AP=PB•CQ，
∵AP=AQ=PQ，
∴PQ²=PB•CQ=6，
∴PQ=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．