Question

如图，三个村庄A，B，C之间的距离分别为BC=5km，AC=12km，AB=13km．现准备从C村修一条公路CD直达公路AB，已知公路的造价为39000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,垂线段最短

专题：应用题

分析：首先得出BC²+AC²=5²+12²=169，AB²=13²=169，利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，再根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得CD的长，最终求得最低造价．

解答：解：∵BC²+AC²=5²+12²=169，
AB²=13²=169，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
当CD⊥AB时CD最短，造价最低，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

12×5

13

=

60

13

（km），

60

13

×39000=180000（元）．
答：最低造价为180000元．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形的面积与垂线的性质．