Question

8．如图，BC=10，D是BC上一动点，以BD、CD为边作正△ABD和正△EDC，AC与BE交于点O，连接OD，①BE=AC；②∠AOB=60°；③OD平分∠BOC；④OC=OD+OE；⑤AE最小值为5，上述结论中正确的个数有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出BD=AD，CD=DE，∠BAD=∠ADB=∠CDE=60°，证出∠BDE=∠ADC，由SAS证明△BDE≌△ADC，得出BE=AC（①正确），∠DBE=∠DAC，∠BED=∠ACD，由三角形的外角性质得出②正确；证明A、B、D、O四点共圆，由圆周角定理得出∠BOD=∠BAD=60°，得出∠COD=60°=∠BOD，③正确；在OC上截取OM=OE，连接EM，证明△OME是等边三角形，得出EM=OE，∠OME=60°，由ASA证明△ODE≌△MCE，得出OD=MC，得出④正确；当正△ABD和正△EDC全等时，AE最小=$\frac{1}{2}$BC=5，⑤正确；即可得出结论．

解答 解∵△ABD和△EDC是等边三角形，
∴BD=AD，CD=DE，∠BAD=∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}&{\;}\\{∠BDE=∠ADC}&{\;}\\{DE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE=AC（①正确），∠DBE=∠DAC，∠BED=∠ACD，
∵∠DAC+∠DCA=∠ADB=60°，
∴∠AOB=∠DBE+∠DCA=60°②正确；
∴∠BOC=120°，
∵∠AOB=∠ADB=60°，
∴A、B、D、O四点共圆，
∴∠BOD=∠BAD=60°，
∴∠COD=60°=∠BOD，
∴OD平分∠BOC，
③正确；
在OC上截取OM=OE，连接EM，如图所示
∵COD=∠BOD=60°，
∴∠DOE=120°，△OME是等边三角形，
∴EM=OE，∠OME=60°，
∴∠CME=120°，
∵∠MCE+∠BC0=∠MCE+∠MEC=60°，
∴∠BCD=∠MEC，
∴∠BED=∠MEC，
在△ODE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOE=∠CME}&{\;}\\{OE=ME}&{\;}\\{∠BED=∠MEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△MCE（ASA），
∴OD=MC，
∵OC=OM+MC，
∴OC=OD+OE；④正确；
当正△ABD和正△EDC全等时，AE最小=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴⑤正确；
正确的个数有5个．
故选：A．

点评 本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，难度较大．