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    4．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
    原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

    （1）思路梳理
    ∵AB=CD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
    ∵∠ADC=∠B=90°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
    根据SAS，易证△AFG≌GAF，得EF=BE+DF．
    （2）类比引申
    如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．
    若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠ADC=180°  时，仍有EF=BE+DF．
    （3）联想拓展
    如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

    分析 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
    （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
    （3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．

    解答 解：（1）理由是：如图1，

    ∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
    ∵∠ADC=∠B=90°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
    则∠DAG=∠BAE，AE=AG，
    ∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
    即∠EAF=∠FAG，
    在△EAF和△GAF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
    ∴△AFG≌△AFE（SAS），
    ∴EF=FG=BE+DF；
    故答案为：SAS；GAF；
    （2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
    ∵AB=AD，
    ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，

    ∴∠BAE=∠DAG，
    ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
    ∴∠BAE+∠DAF=45°，
    ∴∠EAF=∠FAG，
    ∵∠ADC+∠B=180°，
    ∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
    在△AFE和△AFG中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
    ∴△AFE≌△AFG（SAS），
    ∴EF=FG，
    即：EF=BE+DF，
    故答案为：∠B+∠ADC=180°；
    （3）BD2+CE2=DE2．
    理由是：把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，
    则∠FAB=∠CAE．

    ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
    ∴∠BAD+∠CAE=45°，
    又∵∠FAB=∠CAE，
    ∴∠FAD=∠DAE=45°，
    则在△ADF和△ADE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{∠FAD=∠DAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
    ∴△ADF≌△ADE，
    ∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°，
    ∴∠BDF=90°，
    ∴△BDF是直角三角形，

    ∴BD2+BF2=DF2，
    ∴BD2+CE2=DE2．

    点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度．

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