如图.已知抛物线的顶点为M.连结AM交x轴于点B．(1)求这条抛物线的解析式,是抛物线在x轴下方.顶点 M左方一段上的动点.连结PO.以PO.PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上.过Q作x轴的垂线交直线AM于点R.连结PR．设△PQR的面积为S．求S与x之间的函数解析式,中.是否存在使S△PQR=2的点?若存在.求点P的坐标,若不存在.说明理由．的条件下.第一象限内的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

如图，已知抛物线的顶点为M（2，-4），且过点A（-1，5），连结AM交x轴于点B．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点 M左方一段上的动点，连结PO，以PO、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR．设△PQR的面积为S．求S与x之间的函数解析式；
（3）在上述动点P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（4）在（3）的条件下，第一象限内的一点N与B，Q组成的三角形与△PQO相似，求N的坐标．

分析（1）根据抛物线过顶点M（2，-4），A（-1，5）两点，用顶点式待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P（x，y）则，Q的坐标是（2x，0），把2x代入直线AM的解析式，就可以求出R的坐标．得到QR的长度，QR边上的高是x，因而△QRP的面积就可以用x表示出来，得到S与x的函数解析式；
（3）使S_△PQR=2，把s=2代入函数的解析式，就可以得到关于x的方程，解方程求解就可以；
（4）分类讨论以点N与B，Q组成的三角形与△PQO相似，利用相似三角形性质和勾股定理，即可求出点N的坐标．

解答解（1）∵抛物线的顶点为M（2，-4），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）²-4，
∵抛物线过点A（-1，5），
∴5=a（-1-2）²-4，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式：y=（x-2）²-4，
∴这条抛物线的解析式为y=x²-4x．

（2）设直线AM解析式：y=kx+b，
∵M（2，-4），A（-1，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=2k+b}\\{5=-1k+b}\end{array}\right.$
解得：k=-3，b=2，
∴直线AM解析式：y=-3x+2，
令y=0，x=$\frac{2}{3}$，
∴B（$\frac{2}{3}$，0）．
点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点 M左方一段上的动点，
当0＜x＜$\frac{1}{3}$时，
设P（x，x²-4x），
∵以PO、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，
∴Q的坐标是（2x，0），
∵QR⊥x轴，
∴R（2x，-6x+2），
∴QR=|-6x+2|=-6x+2，PR=2x-x=x，
∴S_△QPR=$\frac{1}{2}$×（-6x+2）×x=-3x²+x．
当$\frac{1}{3}$＜x＜2时，
设P（x，x²-4x），
∵以PO、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，
∴Q的坐标是（2x，0），
∵QR⊥x轴，
∴R（2x，-6x+2），
∴QR=|-6x+2|=6x-2，PR=2x-x=x，
∴S_△QPR=$\frac{1}{2}$×（6x-2）×x=3x²-x．
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{y=-3{x}^{2}+x\\;0＜x＜\frac{1}{3}}\\{y=3{x}^{2}-x\\;\frac{1}{3}＜x＜2}\end{array}\right.$．

（3）存在．
-3x²+x=2，整理得：3x²-x+2=0，
△=1-24＜0，
方程无解；
3x²-x=2，整理得：3x²-x-2=0，
解得：x=1，或x=-$\frac{2}{3}$（舍），
将x=1代入点P，
∴P（1，-3）．
∴存在点P（1，-3），使S_△PQR=2．

（4）当△PQO∽△NQB时，如下图：

分别过点N、P做x轴垂线，垂足为H、G，
PQ=$\sqrt{10}$，OQ=2，BQ=$\frac{4}{3}$，PG=3，BH=$\frac{2}{3}$，OH=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{OQ}{BQ}=\frac{PG}{NH}$，
∴得NH=2，
∴N（$\frac{4}{3}$，2）．
当△PQO∽△BQN时，如下图：

过点N做x轴垂线，垂足为T，
PQ=$\sqrt{10}$，OQ=2，BQ=$\frac{4}{3}$，BN=$\frac{4}{3}$，
$\frac{PQ}{BQ}=\frac{OQ}{NQ}$
解得：NQ=$\frac{4\sqrt{10}}{15}$，
设BT=x，TQ=$\frac{4}{3}$-x，
∵BN²-BT²=NQ²-TQ²
∴$\frac{16}{9}$-x²=（$\frac{4\sqrt{10}}{15}$）²-（$\frac{4}{3}$-x）²，
解得：x=$\frac{16}{15}$，
∴NT=BN²-BT²=$\frac{4}{5}$，
0T=$\frac{16}{15}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{26}{15}$，
∴N（$\frac{26}{15}$，$\frac{4}{5}$）．
当△PQO∽△QNB时，如下图：

过点N做x轴垂线，垂足为R，
PQ=$\sqrt{10}$，OQ=2，BQ=$\frac{4}{3}$，QN=$\frac{4}{3}$，
$\frac{PQ}{BQ}=\frac{OQ}{BN}$，
解得：NB=$\frac{4\sqrt{10}}{15}$，
设BR=x，RQ=$\frac{4}{3}$-x，
∵BN²-BR²=NQ²-RQ²
解得：x=$\frac{4}{15}$，
∴BR=BN²-NR²=$\frac{4}{5}$，
0R=$\frac{4}{15}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{14}{15}$，
∴N（$\frac{14}{15}$，$\frac{4}{5}$）．
综上所述，N点坐标为：（$\frac{4}{3}$，2）、（$\frac{26}{15}$，$\frac{4}{5}$）、（$\frac{14}{15}$，$\frac{4}{5}$）．

点评题目考查了待定系数法求函数的解析式．以及坐标系中三角形的面积的求法，求线段的长的问题一般要转化为求函数图象上的点的坐标的问题．此外相似三角形的讨论问题不要出现漏解现象．题目整体较难，适合学生进行中考压轴训练．

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①△ABD，△BCD都是等腰三角形；
②AD=BD=BC；
③BC²=CD•CA；
④D是AC的黄金分割点
其中正确的是（　　）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

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（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据SAS，易证△AFG≌GAF，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．
若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠ADC=180° 时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

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