Question

6．已知△ABC为正三角形，点M的射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，如图①②③．
（1）∠BQM等于多少度？并利用图③证明你的结论；
（2）如图②．若BP垂直AM于点P，求证：BQ=2PQ．

Answer 1

分析 （1）在图3中，根据三角形外角的性质及等边三角形的性质得出∠BAN=∠ACM=120°，由全等三角形的判定定理得出△ABN≌△CAM，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（2）根据垂直的定义得到∠BPQ=90°，根据三角形的内角和得到∠PBQ=30°，由直角三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）∠BQM=60°，
理由：如图3，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAN=∠ACM=60°，
∵BM=CN，AC=BC，
∴AN=CM，
在△ABN和△CAM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠ACM}\\{AN=CM}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∴∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°；

（2）∵∠BQM=60°，
∵BP⊥AM，
∴∠BPQ=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BQ=2PQ．

点评 本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据题意判断出△ABN≌△CAM是解答此题的关键．