Question

2．点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．
（1）如图1，以BD、BE为边分别作正△BMD和正△BEN，连结MF、FN、MN．求证：△FMN是等边三角形．
（2）如图2，以BD、BE为边分别作正方形BPMD和正方形BQNE，连结MF、NF、MN，求∠MFN的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根据三角形的中位线推出平行四边形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，证△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFN=∠MDB即可；
（2）根据正方形性质求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根据三角形的中位线推出平行四边形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，证△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFN=∠MDB即可；

解答 解：（1）连接FD、FE，
∵△BDM和△BEN是等边三角形，
∴∠MDB=60°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分别为边AB、AC、BC的中点，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴DFEB是平行四边形，
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB，
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EF}\\{∠MDF=∠FEN}\\{DF=EN}\end{array}\right.$，
∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
∵∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=60°，
∴△FMN是等边三角形；
（2）△FMN是等腰直角三角形，且∠MFN为90°，
理由是：连接FD、FE，
∵四边形BDMP和四边形BENQ是正方形，
∴∠MDB=90°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分别为边AB、AC、BC的中点，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形DFEB是平行四边形，
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EF}\\{∠MDF=∠FEN}\\{DF=EN}\end{array}\right.$，
∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
∵∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=90°，
故∠MFN=90°．

点评 本题主要考查三角形全等的判定方法及三角形中位线的性质、证明方法的迁移，属中等难度题型．