Question

10．先观察下列的计算，再完成：$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}=\frac{{（\sqrt{2}-1）}}{{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}}=\sqrt{2}-1$；$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\frac{{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}}{{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（3-\sqrt{2}）}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}=\frac{{（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}}{{（4+3）（4-\sqrt{3}）}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；请你直接写出下面的结果：
（1）$\frac{1}{{\sqrt{5}+\sqrt{4}}}$=$\sqrt{5}$-2；$\frac{1}{{\sqrt{6}+\sqrt{5}}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
（2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：$（\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}}）×（\sqrt{2014}+1）$．

Answer 1

分析 （1）观察已知计算过程得出分母有理化规律，将各式化简即可；
（2）原式分母有理化变形后，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$=$\sqrt{5}$-2；$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$）×（$\sqrt{2014}$+1）=（$\sqrt{2014}$-1）×（$\sqrt{2014}$+1）=2014-1=2013．
故答案为：（1）$\sqrt{5}$-2；$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$

点评 此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．