Question

11．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，BD平方∠ABC，点P在BD上，⊙P切AB于点Q，则AP+PQ的最小值等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点P′，过点P′作P′Q′⊥AB于点Q′，因为BD平分∠ABC，所以P′Q′=P′M，这时AP′+P′Q′有最小值，即AM的长度，当P和P′重合时，AP+PQ的最小值就是AM的长，运用勾股定理求出BC，再根据直角三角形斜边中线的性质得出AM的值，即AP+PQ的最小值．

解答 解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点P′，过点P′作P′Q′⊥AB于点Q′，
∵BD平分∠ABC．
∴P′Q′=P′M，这时AP′+P′Q′有最小值，即AM的长度，
∴当P和P′重合时，AP+PQ的最小值就是AM的长，
∵AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AM是直角三角形斜边的中线，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即PC+PQ的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足AP+PQ有最小值时点P和Q的位置．