Question

【题目】（方法回顾）

课本研究三角形中位线性质的方法

已知：如图①， 已知中，，分别是，两边中点．

求证：，

证明：延长至点，使， 连按．可证：（　　）

由此得到四边形为平行四边形， 进而得到求证结论

（1）请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图①中作出证明中所描述的辅助线（请用铅笔作辅助线）；

②在证明的括号中填写理由（请在，，，中选择） .

（问题拓展）

（2）如图②，在等边中， 点是射线上一动点（点在点的右侧），把线段绕点逆时针旋转得到线段，点是线段的中点，连接、．

①请你判断线段与的数量关系，并给出证明；

②若，求线段长度的最小值．

Answer 1

【答案】【方法回顾】（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线，见解析；②；（2）①，证明见解析；②线段长度的最小值为．

【解析】

（1）①根据题意画出辅助线即可；

②由题可知判断全等的条件是；

（2）①延长至点，使得，连接，，证明，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，可得到为等边三角形，可推出为等边三角形，得到；

②连接，取的中点，连接作射线，由为等腰三角形，，得到，由点为的中点，点为的中点，得到，当时，最短，在中，，．

（1）①在图①中作出证明中所描述的辅助线如图所示：

②．

（2）①，

延长至点，使得，

连接，，

点为的中点，

，

，，

，

，，

，

绕点逆时针旋转得到线段，

，，

，

为等边三角形，

， ，

，

，

，

，

，，

，

为等边三角形，

；

②连接，取的中点，连接作射线，

为等腰三角形，，

，

点为的中点，点为的中点，

，

，

点的轨迹为射线，且，

当时，最短，

，

，

在中，

，

，

即线段长度的最小值为．