Question

【题目】在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．

①求OD的长．

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32；（2）①1m；②能，

【解析】

（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；

（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m；

②东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，证明△MPN∽△NEH，得出，则NH＝5MP．分不同情况：（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，分别求出t的范围可得出答案．

解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），

把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，

∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．

（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，

化简得（x﹣0.4）2＝0.36，

解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，

∴OD＝1m．

②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．

由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．

当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．

当h1﹣h2＝0时，t＝0.65，

东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，

设MD＝h1，NF＝h2，

当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，

∴MD∥NF，PN∥EG，

∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，

∴△MPN∽△NEH，

∴，

∵PN＝0.5，HE＝2.5，

∴NH＝5MP．

（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，

MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，

NH＝2.2﹣1.3＝0.9．

∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，

整理得（t﹣0.5）2＝0.16，

解得（舍去），，

当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，

∴．

（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，

NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，

∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），

整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，

解得，（舍去），，

当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，

∴．

（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．

给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．