【题目】抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,已知点.
(1)若,求,满足的关系式;
(2)直线与抛物线交于,两点,抛物线的对称轴为直线,且.
①求抛物线的解析式(各项系数用含的式子表示);
②求线段长度的取值范围.
【答案】(1);(2)① ②或
【解析】
(1)将点A的坐标和c=a代入到抛物线的解析中,化简即可得出a,b之间的关系式.
(2) ①由抛物线的对称轴为x=1得到a,b之间的关系,根据点A抛物线上,可求出a,c之间的关系;
②首先用含有a的式子表示出CD的长,根据正切值得范围求出a的取值范围,再结合a的取值范围求出CD的取值范围.
解:(1)若,抛物线解析式化为.
点在抛物线上,
,
.
(2)①抛物线的对称轴为直线,
,
.
点在抛物线上,
,
.
抛物线解析式化为.
②直线经过点,且点,
,
直线化为.
由,解得,.
即.
点.
由勾股定理得
依题意可知,点在点右侧,
且.
由抛物线对称性可得点
,
.
当时,;
当时,.
当时,由反比例函数性质得,;
当时,由反比例函数性质得,;
综上所述:或.
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【题目】如图,圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后,在地面上形成圆形阴影.已知桌面的直径为1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡O距离地面3m,则地面上阴影部分的面积为( )
A.0.36πm2B.0.81πm2C.1.44πm2D.3.24πm2
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【题目】(方法回顾)
课本研究三角形中位线性质的方法
已知:如图①, 已知中,,分别是,两边中点.
求证:,
证明:延长至点,使, 连按.可证:( )
由此得到四边形为平行四边形, 进而得到求证结论
(1)请根据以上证明过程,解答下列两个问题:
①在图①中作出证明中所描述的辅助线(请用铅笔作辅助线);
②在证明的括号中填写理由(请在,,,中选择) .
(问题拓展)
(2)如图②,在等边中, 点是射线上一动点(点在点的右侧),把线段绕点逆时针旋转得到线段,点是线段的中点,连接、.
①请你判断线段与的数量关系,并给出证明;
②若,求线段长度的最小值.
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【题目】如图,已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
(1)求线段BC的长;
(2)当0≤y≤3时,请直接写出x的范围;
(3)点P是抛物线上位于第一象限的一个动点,连接CP,当∠BCP=90o时,求点P的坐标.
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【题目】抛物线(为常数,)与轴交于,两点,与轴交于点.设该抛物线的顶点为,其对称轴与轴的交点为.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)为线段(含端点)上一点,为轴上一点,且.
①求的取值范围;
②当取最大值时,将线段向上平移个单位长度,使得线段与抛物线有两个交点,求的取值范围.
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【题目】如图,抛物线经过原点和点,顶点为,抛物线与抛物线关于原点对称.
(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标;
(2)已知点、在抛物线上的对应点分别为、,的对称轴交轴于点,则抛物线的对称轴上是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知中,,(如图).以线段为边向外作等边三角形,点是线段的中点,连接并延长交线段于点.
(1)求证:四边形为平行四边形;
(2)连接,交于点.
①若,求的长;
②作,垂足为,求证:.
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【题目】定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在与中, ,且所以称与为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为,连接,则称会为“关联比".
下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题:
[特例感知]
当与为“关联等腰三角形”,且时,
①在图1中,若点落在上,则“关联比”=
②在图2中,探究与的关系,并求出“关联比”的值.
[类比探究]
如图3,
①当与为“关联等腰三角形”,且时,“关联比”=
②猜想:当与为“关联等腰三角形”,且时,“关联比”= (直接写出结果,用含的式子表示)
[迁移运用]
如图4, 与为“关联等腰三角形”.若点为边上一点,且,点为上一动点,求点自点运动至点时,点所经过的路径长.
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【题目】书法是我国的文化瑰宝,研习书法能培养高雅的品格某校为加强书法教学,了解学生现有的书写能力,随机抽取了部分学生进行测试,测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,分别用,,,表示,并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
书写能力等级测试条形统计图:
书写能力等级测试扇形统计图:
请根据统计图中的信息解答以下问题:
(1)本次抽取的学生共有______人,扇形统计图中所对应扇形的圆心角是_______;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、分、分、分,则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______,中位数是_______,平均数是________;
(4)若该校共有学生人,请估计一下,书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人?
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