Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+6x-5；（2）点P的横坐标为4或或．

【解析】

（1）求出C（0，-5）、点B（5，0），将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）分点P在直线BC上方、点P在直线BC下方两种情况，分别求解即可．

（1）当x=0时，y=x-5=-5，即点C（0，-5），同理点B（5，0），

将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y=-x2+6x-5；

（2）令y=-x2+6x-5=0，解得：x=1或5，即点A（1，0），

∵OB=OC=5，∴∠OCB=∠OBC=45°，

AM=AB=2，

以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

则PQ=AM=2，PQ⊥BC，

如图，作PD⊥x轴交直线BC于D，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=4，

设点P（x，-x2+6x-5），则点D（x，x-5），

①当点P在直线BC上方时，

PD=-x2+6x-5-x+5=4，

解得：x=1或4（舍去1）；

②点P在直线BC下方时，

PD=-x2+6x-5-x+5=-4，

解得：x=，

故点P的横坐标为4或或．