Question

【题目】在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），其中m＞0．

（1）若m=1，且k=﹣1，求点B的坐标；

（2）已知点A（m，0），若直线y=kx+4m与x轴交于点C（n，0），n+2p=4m，试判断线段AB上是否存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（2，2）；（2）线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，且NA=AB．

【解析】试题分析：（1）把点代入一次函数解析式，求解方程，可得B点坐标.

（2）先画图，把每个已知点坐标代入一次函数解析式，得到n,p,m之间关系， A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）,Rt△BAO，Rt△NAO中分别利用勾股定理，NA用m表示，AB用m表示.消去m,可得NA=AB．

试题解析：

（1）∵一次函数y=kx+4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），∴2m=kp+4m，∴kp=﹣2m．

∵m=1，k=﹣1，∴p=2，∴B（2，2）．

（2）线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长．

理由如下：

由题意，将B（p，2m），C（n，0）分别代入y=kx+4m，得kp+4m=2m且kn+4m=0．

可得n=2p．

∵n+2p=4m，

∴p=m，∴A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）．

∵xB=xA，∴AB⊥x轴，且 OA=AC=m，∴对于线段AB上的点N，有NO=NC，

∴点N到坐标原点O与到点C的距离之和为NO+NC=2NO．

∵∠BAO=90°，在Rt△BAO，Rt△NAO中分别有

OB2=AB2+OA2=5m2，NO2=NA2+OA2=NA2+m2．

若2NO=OB，则4NO2=OB2．

即4（NA2+m2）=5m2．

可得NA= m．

即NA= AB．

所以线段AB上存在一点N，使得点N到坐标原点O与到点C的距离之和等于线段OB的长，且NA=AB．