Question

1．如图，已知等腰三角形ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，∠PAB=α，作点B关于直线AP的对称点为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．
（1）如图（1）当α=15°时，①按要求画出图形，②求出∠ACD的度数，③探究DE与BF的倍数关系并加以证明；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜a＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用下页备用图直接求出α的值为30°或52.5°．

Answer 1

分析 （1）①按要求画出即可；
②根据点B关于直线AP的对称点为点D，得到AP垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，证明△ACD为等边三角形，即可得到∠ACD=60°；
③DE=2BF，连接EB，根据AP垂直平分BD，得到ED=EB，利用等边对等角得到∠3=∠4，利用等腰三角形的性质求出∠3=∠4=15°，∠5=30°，又因为AD=AC，AB平分∠DAC，所以AB⊥DC，即可得到EB=2BF，所以ED=2BF；
（2）画出图形，分三种情况讨论：当AE=AF时；当AE=EF时；当EF=AF时．

解答 解：（1）①如图1：

②∵B、D关于AP对称，
∴AP垂直平分BD，a=15°，
∴AD=AB，∠1=∠2=15°，
∵∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠1+∠2+∠BAC=60°，
∵AC=AB，
∴AC=AD，
∴△ACD为等边三角形
∴∠ACD=60°．
③DE=2BF，
证明：连接EB，
∵AP垂直平分BD，
∴ED=EB，
∴∠3=∠4，
∵AB=AD，∠DAB=30°，
∴∠ADB=75°，
又∠ADC=60°，
∴∠3=∠4=15°，
∴∠5=30°，
又AD=AC，AB平分∠DAC，
∴AB⊥DC，
∴EB=2BF，
∴ED=2BF．
（2）如图2，

∵AD=AC，
∴△DAC是等腰三角形
∴∠ADC=（180°-2a-30°）÷2=75°-a，
∴∠AEF=∠ADC+∠DAE=75°-a+a=75°，
当AE=AF时，∠EAF=a=180°-75°×2=180°-150°=30°；
当AE=EF时，∠EAF=a=（180°-75°）÷=52.5°；
当EF=AF时，∠AEF=∠EAF=a=75°（舍去）．
故答案为：30°或52.5°．

点评 本题考查了作图，解决本题的关键是作出图形，利用垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质解决问题．