【题目】如图,已知A(3,0),B(0,﹣1),连接AB,过B点作AB的垂线段BC,使BA=BC,连接AC.
(1)如图1,求C点坐标;
(2)如图2,若P点从A点出发沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角△BPQ,连接CQ,当点P在线段OA上,求证:PA=CQ;
(3)在(2)的条件下若C、P,Q三点共线,求此时∠APB的度数及P点坐标.
【答案】(1)C点坐标为(1,﹣4);(2)见解析;(3)P点坐标为(1,0).
【解析】
(1)作CH⊥y轴于H,证明△ABO≌△BCH,根据全等三角形的性质得到BH=OA=3,CH=OB=1,求出OH,得到C点坐标;
(2)证明△PBA≌△QBC,根据全等三角形的性质得到PA=CQ;
(3)根据C、P,Q三点共线,得到∠BQC=135°,根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°,根据等腰三角形的性质求出OP,得到P点坐标.
(1)作CH⊥y轴于H,
则∠BCH+∠CBH=90°,
∵AB⊥BC,
∴∠ABO+∠CBH=90°,
∴∠ABO=∠BCH,
在△ABO和△BCH中,
,
∴△ABO≌△BCH,
∴BH=OA=3,CH=OB=1,
∴OH=OB+BH=4,
∴C点坐标为(1,﹣4);
(2)∵∠PBQ=∠ABC=90°,
∴∠PBQ﹣∠ABQ=∠ABC﹣∠ABQ,即∠PBA=∠QBC,
在△PBA和△QBC中,
,
∴△PBA≌△QBC,
∴PA=CQ;
(3)∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴∠BQP=45°,
当C、P,Q三点共线时,∠BQC=135°,
由(2)可知,△PBA≌△QBC,
∴∠BPA=∠BQC=135°,
∴∠OPB=45°,
∴OP=OB=1,
∴P点坐标为(1,0).
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【题目】在开展“美丽广西,清洁乡村”的活动中某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵,已知A种树苗每棵30元,B种树苗每棵90元.
(1)设购买A种树苗x棵,购买A、B两种树苗的总费用为y元,请你写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)如果购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元,且B种树苗的棵数不少于A种树苗棵数的3倍,那么有哪几种购买树苗的方案?
(3)从节约开支的角度考虑,你认为采用哪种方案更合算?
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【题目】某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达D处,测得仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米)
(参考数据:sin48°≈ ,tan48°≈
,sin64°≈
,tan64°≈2)
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【题目】如图,△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连接AE,CD,AE与CD交于点M,AE与BC交于点N.
(1)求证:AE=CD;
(2)求证:AE⊥CD;
(3)连接BM,有以下两个结论:①BM平分∠CBE;②MB平分∠AMD.其中正确的有 (请写序号,少选、错选均不得分).
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【题目】如图,已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,1),点B(﹣9,10),AC∥x轴,点P是直线AC下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点,且B(1,0)
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)如图1,点P是直线y=x上的动点,当直线y=x平分∠APB时,求点P的坐标;
(3)如图2,已知直线y= x﹣
分别与x轴、y轴交于C、F两点,点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作y轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE.问:以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,BD是∠ABC平分线,DEAB于E,AB=36cm,BC=24cm,S△ABC =144cm2,则DE的长是( )
A. 4.8cm B. 4.5cm C. 4 cm D. 2.4cm
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