Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC=4，BC=3，OA=5，点D在边OC上，CD=3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B和点E．
①求二次函数的解析式和它的对称轴；
②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S_△CEM=2S_△ABM，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵BC∥OA，
∴BC⊥CD，
∵CD=CB=3，
∴∠CDB=45°，
∵BD⊥DE，
∴∠ODE=45°，
∴OE=OD=1，
∴E（1，0）；

（2）①易知B（3，4），由（1）得E（1，0），
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B和点E．
∴，
解之得，
∴二次函数的解析式为y=-x²+6x-5，
∴对称轴为直线x=3；
②设对称轴与x轴交于点F，点M的坐标为（3，t），
S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE=（4+t）×3-×2×t-×1×4=t+4，
（ⅰ）当点M位于线段BF上时，S_△ABM=（4-t）×2=4-t，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴t+4=2（4-t），
解得：t=，
∴M（3，）；
（ⅱ）当点M位于线段FB延长线上时，S_△ABM=（t-4）×2=t-4，
∵S_△CEM=2S_△ABM，
∴t+4=2（t-4），
解得：t=8，
∴M（3，8）．
分析：（1）根据平行线的性质与等腰三角形的判定与性质，即可求得OE=OD，则可求得点E的坐标；
（2）①利用待定系数法，由二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B和点E，即可求得二次函数的解析式，则可求得对称轴方程；
②由S_△CEM=S_梯形OFMC-S_△MEF-S_△COE，分别从当点M位于线段BF上时与当点M位于线段FB延长线上时分析即可求得答案，注意不要漏解．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．