Question

19．如图，将圆形纸片沿弦AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，⊙O的切线BC与AO延长线交于点C．
（1）若⊙O半径为6cm，用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径．
（2）求证：AB=BC．

Answer 1

分析 （1）过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，根据题意OE=$\frac{1}{2}$OA，得出∠OAE=30°，∠AOE=60°，从而求得∠AOB=2∠AOE=120°，根据弧长公式求得弧AB的长，然后根据圆锥的底面周长等于弧长得出2πr=4π，即可求得这个圆锥的底面圆半径；
（2）连接OB，根据切线的性质得出∠OBC=90°，根据三角形外角的性质得出∠C=30°，从而得出∠BAC=∠C，根据等角对等边即可证得结论．

解答 解：（1）设圆锥的底面圆半径为r，
过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，连接OB，
有折叠可得 OE=$\frac{1}{2}$OD，
∵OD=OA，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，
∴在Rt△AOE中∠OAE=30°，则∠AOE=60°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOB=2∠AOE=120°，
∴弧AB的长为：$\frac{120×π×6}{180}$=4π，
∴2πr=4π，
∴r=2；
（2）∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°
∴∠C=30°，
∴∠OAE=∠C，
∴AB=BC．

点评 本题考查了折叠的性质，垂径定理，弧长的计算，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，找出辅助线构建直角三角形是解题的关键．