Question

17．如图，点E为AB上一点，以AE，BE为边在AB同侧作等边△AED和等边△BEC，点P，Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点．
（1）判断四边形PNMQ的形状，并证明；
（2）∠NPQ的度数为120°（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）易证△AEC≌△DEB得AC=DB，根据AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，可证PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，四边形PQMN为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形可以判定为菱形；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到：∠ACE=∠DBE．结合等边三角形的性质和三角形外角定理推知∠CAE+∠DBE=60°，由三角形内角和定理求得
∠NPQ=∠AOB=120°．

解答 解：（1）四边形PNMQ为菱形．证明如下：
连接AC、BD，且AC、BD交于点O．
在△AEC与△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠AEC=∠DEB}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
∴PQ=MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ∥MN∥AC，
∴四边形PNMQ为平行四边形，
同理MQ=$\frac{1}{2}$BD，
∴MQ=PQ，
∴四边形PNMQ为菱形；

（2）由（1）知，△AEC≌△DEB，则∠ACE=∠DBE．
∵∠CAE+∠ACE=60°，∠CAE+∠DBE=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∴∠NPQ=∠AOB=120°．
故答案是：120°．

点评 本题考查了中点四边形，菱形的判定，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．