Question

6．如图，抛物线y=x²+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）²-4，然后把（0，-3）代入求出a即可；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题确定A点坐标，再利用两点间的距离公式分别计算出AC、CD、AD，然后根据勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形．

解答 （1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）²-4，
把（0，-3）代入得a-4=-3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）²-4；
（2）证明：当y=0时，（x+1）²-4=0，解得x₁=-3，x₂=1，则A（-3，0），B（1，0），
因为AC²=3²+3²=18，AD²=（-1+3）²+（-4）²=20，DC²=（-1）²+（-4+3）²=2，
所以AC²+DC²=AD²，
所以△ACD为直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了两点间的距离公式和勾股定理的逆定理．